1053の性質 - メモ帳

内輪ネタです。

1053とは：

「1053」という数の性質を列挙しただけの記事です。

・実数である。

・整数である。

・奇数である。

・ $1053 = 3^4 \times 13$ 。

・2進法で表すと10000011101。

・ $1053 = 18^2+27^2$ 。

OEISからの引用が多め。

・"1053"の連続する部分文字列を全て列挙すると、素数であるものと素数でないものが同数となる。

素数であるものは5, 3, 05, 53, 053、素数でないものは1, 0, 10, 105, 1053です。

・マッチ棒を使って次のような三角形を作るとき、必要なマッチ棒の本数は1053本。

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$3n(n+1)/2 \ |_{n=26} = 1053$ に由来します。

・Iccanobif numberである。

Iccanobif numberは次の漸化式で定義される数列 $\{R_i\}$ の要素です。

$R_0 = 0,\ R_1=1,\ R_{i+2}=rev(R_{i+1}) + rev(R_{i}) \ (i \geq 0)$

ただしrevは文字列としての反転を表します。Fibonacci numberに反転を加えたものなのでIccanobif numberと呼ばれます。

・ $n^2+3n+1 \ |_{n=32} = 1053$ 。

・ $3(n^3+n+1) \ |_{n=7} = 1053$ 。

・ $p_{1053} \equiv -1 \ ({\rm mod} \ 1053)$ 。ただし $p_i$ は $i$ 番目の素数。

$p_{1053} = 8423 = 1053 \cdot 8 -1$ です。

・ $\displaystyle 51= \sum_{i=1}^{r} a_i \ (a_j-a_i = 0,1 \ (i \lt j) , \ a_1=1)$ となる $(r,a_1, \dots, a_r)$ の組は1053個。

1から始まり差が0か1の広義単調増加列で、和が51のものは1053通りです。

・1053を3つの0でない平方数の和で表す方法は、順序の違いを除いて8通り。

$1053\\=2^2+5^2+32^2=3^2+12^2+30^2=4^2+14^2+29^2=4^2+19^2+26^2\\=6^2+21^2+24^2=10^2+13^2+28^2=11^2+16^2+26^2=13^2+20^2+22^2$

となります。

適宜追記予定。